Как FastICA scikit-learn устраняет необходимость в двух сигналах, каждый из которых состоит из гауссовского шума?

Question

Не уверен, что лучше задать это здесь или в StackExchange, но, поскольку это вопрос программирования, а также, возможно, математический вопрос, здесь идет речь.

Вопрос о FastICA.

С учетом входного временного ряда («наблюдения» ниже), где каждый временной ряд представляет собой линейную смесь сигналов n_components, ICA возвращает сигналы и матрицу микширования. Из http://www.cs.jhu.edu/~ayuille/courses/Stat161-261-Spring14/HyvO00-icatut.pdf, раздела 3 я понимаю, что максимум один сигнал может быть гауссовским шумом. Но ниже я, кажется, демонстрирую, что FastICA восстанавливает два сигнала, даже когда оба являются шумом (здесь как функция длины временного ряда от одного временного шага до 10000 временных шагов, для 16 временных рядов):

# Snippet below adapted from http://scikit-learn.org/stable/auto_examples/decomposition/plot_ica_blind_source_separation.html
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal
from sklearn.decomposition import FastICA, PCA
for i in [1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 100, 1000, 10000]: # number of timepoints
    # Generate sample data
    np.random.seed(0)
    n_samples = i
    time = np.linspace(0, 8, n_samples)
    #
    s1 = np.array([np.random.normal() for q in range(i)])
    s2 = np.array([np.random.normal() for q in range(i)])
    #
    S = np.c_[s1, s2]
    S += 0.2 * np.random.normal(size=S.shape)  # Add extra noise, just to muddy the signals
    #
    S /= S.std(axis=0)  # Standardize data
    # Mix data
    A = np.array([[np.random.normal(), np.random.normal()] for j in range(16)]) # Mixing matrix
    X = np.dot(S, A.T)  # Generate observations
    #
    # Compute ICA
    ica = FastICA(n_components=2)
    print i, "\t",
    try:
        S_ = ica.fit_transform(X)  # Reconstruct signals
    except ValueError:
        print "ValueError: ICA does not run"
        continue
    A_ = ica.mixing_  # Get estimated mixing matrix
    #
    # We can `prove` that the ICA model applies by reverting the unmixing.
    print np.allclose(X, np.dot(S_, A_.T) + ica.mean_) # X - AS ~ 0

Выход:

1   ValueError: ICA does not run
2   False
3   True
4   True
5   True
10  True
20  True
100     True
1000    True
10000   True

Почему это работает? Т.е. почему X - AS ~ 0 (условие allclose () выше)? Обратите внимание, что он по-прежнему работает, если число сгенерированных нами наборов данных намного больше, чем 16, которые я использовал здесь (например, 1000 временных рядов все еще работают).