То, как вы вызываете метод PUT, неверно.
Измените прототип вашего метода на:
[HttpPut]
[Route("update/{cKey}"]
public HttpResponseMessage Put(int cKey)
После этого ваш звонок в Почтальоне должен сработать.
Способ определения маршрута неверен, поскольку переменная cKey
никогда не отображается.
Поскольку ваш метод принимает целое число, которое не может быть обнуляемым, вы должны указать его в строке запроса. Так что запрос к update?valQuestionPayload=123
также будет работать.