Я думаю, что вы ищете
if (context.Request.ContentType = "application/json") // or whatever MIME type
{
...
}
Затем, как только вы выполните всю свою обработку, не забудьте создать ответ обратно
context.Response.ContentType = "application/json";
string result = ""; // whatever string you are sending back
await context.Response.WriteAsync(result);
Тем не менее, если это вызывает какую-то ошибку, например, неподдерживаемый метод (например, PUT)
context.Response.StatusCode = StatusCodes.Status405MethodNotAllowed;
await context.Response.WriteAsync(String.Empty);