Не существует встроенного способа заставить HTTP :: Daemon :: SSL автоматически получать недостающие сертификаты. Кроме того, ваше наблюдение, что такое делается с помощью Apache или Python, неверно. В целом сервер должен быть правильно настроен для отправки необходимых сертификатов.
Некоторые браузеры могут работать с неправильно настроенными серверами, и иногда эти обходные пути работают только в определенных ситуациях. Например, Firefox будет кэшировать промежуточные сертификаты, которые он видел, и использовать их для заполнения недостающих сертификатов цепочки в других соединениях позже. Но это не удастся, если промежуточный сертификат не был виден ранее Firefox, который можно легко попробовать с помощью вновь созданного профиля. То, что вы видели в Apache и Python, - это, вероятно, использование уже кэшированных сертификатов.
Некоторые браузеры также могут использовать атрибут CA Issuers в расширении доступа к информации о полномочиях сертификата для загрузки отсутствующего сертификата. Я думаю, что Chrome может сделать это. Но это, конечно, повлияет на время загрузки страницы, поскольку пропавший сертификат необходимо сначала получить с другого сервера.