Мы пытаемся диагонализировать две следующие матрицы: matrix1 и matrix2
Мы сравнили наши результаты с Wolfram Mathematica, и в первой матрице мы получили разные результаты при сравнении собственных векторов, соответствующих вырожденным собственным значениям.
Вот код, который мы используем в python. В Mathematica мы просто используем классическую функцию «Eigensystem []».
Как видно из первой матрицы, результаты SciPy и Mathematica действительно разные, а для второй совпадают.
В частности, мы наблюдаем, что для первой матрицы 2-й и 3-й собственные векторы вырождены по энергии. В Mathematica «Eigensystem []» может найти два собственных вектора, которые сохраняют трансляционную симметрию матрицы, в то время как Python, в данном конкретном случае, нет.
Удивительно, но для второй матрицы два результата, Mathematica и Python, одинаковы.
У кого-нибудь есть идеи, почему это происходит и как это решить?
Нашей целью будет диагонализация больших разреженных эрмитовых матриц, но мы также найдем ту же проблему в этом случае.
import numpy as np
from numpy import linalg
import scipy.linalg
t=-1
matrix1 = np.array([ [0, t, 0, 0, t], [t, 0, t, 0, 0],[0, t, 0, t, 0],[0, 0, t, 0, t],[t, 0, 0, t, 0]])
matrix2 = np.array([[0, t, 0, t, 0],[t, 0, t, 0, t],[0, t, 0, t, 0],[t, 0, t, 0, t],[0, t, 0, t, 0]])
E1,V1 = linalg.eigh(matrix1)
E2,V2 = linalg.eigh(matrix2)
print('.....First Matrix')
print('Matrix')
print(matrix1)
print('Eigenvalues')
print(E1)
print('Eigenvectors')
for i in range(len(V1)):
print(V1[:,i]
print('')
print('.....Second Matrix')
print('Matrix')
print(matrix2)
print('Eigenvalues')
print(E2)
print('Eigenvectors')
for i in range(len(V2)):
print(V2[:,i])
Вот выходные данные python и mathematica для двух матриц.
......First Matrix..............................................................
.....PYTHON.....
Matrix
[[ 0 -1 0 0 -1]
[-1 0 -1 0 0]
[ 0 -1 0 -1 0]
[ 0 0 -1 0 -1]
[-1 0 0 -1 0]]
Eigenvalues
[-2. -0.618 -0.618 1.618 1.618]
Eigenvectors
[-0.447 -0.447 -0.447 -0.447 -0.447]
[ 0.103 0.625 0.283 -0.450 -0.561]
[-0.624 -0.094 0.566 0.444 -0.291]
[ 0.632 -0.512 0.195 0.195 -0.512]
[ 0.000 0.371 -0.601 0.601 -0.371]
.....MATHEMATICA.....
Eigenvalues
(-2.,-0.618034,-0.618034,1.61803,1.61803)
Eigenvectors
(-0.44721 -0.44721 -0.447214 -0.447214 -0.447214
0.60150 0.37174 -0.371748 -0.601501 0.
0.19544 -0.51166 -0.511667 0.19544 0.632456
-0.51166 0.19544 0.19544 -0.511667 0.632456
-0.37174 0.60150 -0.601501 0.371748 0.)
......Second Matrix..............................................................
.....PYTHON.....
Matrix
[[ 0 -1 0 -1 0]
[-1 0 -1 0 -1]
[ 0 -1 0 -1 0]
[-1 0 -1 0 -1]
[ 0 -1 0 -1 0]]
Eigenvalues
[-2.449 0 0 0 2.449]
Eigenvectors
[ 0.408 0.5 0.408 0.5 0.408]
[ 0.816 0 -0.408 0 -0.408]
[ 0. -0.707 0. 0.707 0. ]
[ 0. 0. -0.707 0. 0.707]
[-0.408 0.5 -0.408 0.5 -0.408]
.....MATHEMATICA.....
Eigenvalues
(-2.44949,0.,0.,3.55271*10^-15,2.44949)
Eigenvectors
(-0.408248 -0.5 -0.408248 -0.5 -0.408248
0 0.707107 0 -0.707107 0
0.707107 0 -0.707107 0 0
-0.408248 0 -0.408248 0 0.816497
-0.408248 0.5 -0.408248 0.5 -0.408248)