Как вычислить производные с Lambdify и IndexedBase в Sympy

Question

Я изучаю пригодность SymPy для некоторых моих проектов и столкнулся с проблемой взаимодействия между lambdify и IndexedBase.

Короче говоря, мои приложения интенсивно используют функции, которые используют структуры массивов с двойным суммированием. Мне нужно иметь возможность вычислить как функцию, так и производную с первой по третью функции относительно элемента массива.

Мои вопросы таковы:

1. Как мне заставить lambdify работать с diff?
2. Как мне сделать функцию lambdify, где я могу указать индекс, по которому я хочу получить производную?
3. Как распространить вышесказанное на производную второго порядка с другим индексом (то есть вторым порядком относительно индексов i и j)?

Упрощенный пример:

from sympy import IndexedBase, Idx, lambdify, Sum, diff
from numpy import array


i = Idx("i", range=(0,1))
j = Idx("j", range=(0,1))
n = IndexedBase("n")
coefficients = IndexedBase("C")

double_sum = Sum(Sum(n[i]*n[j]*coefficients[i,j],(i,i.lower,i.upper)),(j,j.lower,j.upper))
first_derivative = diff(double_sum, n[i])
second_derivative = diff(first_derivative, n[j])

test_function_1 = lambdify((n,coefficients),double_sum)
test_function_2 = lambdify((n,coefficients,i),first_derivative)
test_function_3 = lambdify((n,coefficients,i,j),second_derivative)

test_vector = array([1, 2])
test_coefficients = array([[1,1],[2,3]])

test_value_1 = test_function_1(test_vector,test_coefficients)
print(test_value_1)

test_value_2 = test_function_2(test_vector,test_coefficients,1)
print(test_value_2)

test_value_3 = test_function_3(test_vector,test_coefficients)
print(test_value_3)

Выполнение этого кода приводит к ошибке:

File "<lambdifygenerated-2>", line 9, in _lambdifygenerated
File "<lambdifygenerated-2>", line 9, in <genexpr>
NameError: name 'KroneckerDelta' is not defined 

Answer 1

Индексированные выражения полезны, но их производные иногда более сложны, чем должны быть, и у них, как правило, возникают проблемы с lambdify.Вот примерно эквивалентный код, который не использует Indexed.Разница в том, что размер массива объявляется заранее, что позволяет создавать явные массивы нормальных (неиндексированных) символов с помощью symarray, манипулировать ими и разбирать выражения.Я определил их таким образом, чтобы первые производные возвращались в виде матрицы из 1 столбца, а вторые производные - в виде квадратной матрицы (альтернативный тип возврата приведен ниже).

from sympy import symarray, Add, lambdify, Matrix
from numpy import array

i_upper = 2
j_upper = 2
n = symarray("n", i_upper)
coefficients = symarray("C", (i_upper, j_upper))

double_sum = Add(*[n[i]*n[j]*coefficients[i, j] for i in range(i_upper) for j in range(j_upper)])
first_derivative = Matrix(i_upper, 1, lambda i, j: double_sum.diff(n[i]))
second_derivative = Matrix(i_upper, j_upper, lambda i, j: double_sum.diff(n[i], n[j]))

params = list(n) + list(coefficients.ravel())
test_function_1 = lambdify(params, double_sum)
test_function_2 = lambdify(params, first_derivative)
test_function_3 = lambdify(params, second_derivative)

test_vector = array([1, 2])
test_coefficients = array([[1, 1], [2, 3]])
test_params = list(test_vector) + list(test_coefficients.ravel())    
test_value_1 = test_function_1(*test_params)
test_value_2 = test_function_2(*test_params)
test_value_3 = test_function_3(*test_params)

Тестовые значения: 19, [[8], [15]] и [[2, 3], [3, 6]] соответственно.

Кроме того, функции могут возвращать вложенные списки:

first_derivative = [double_sum.diff(n[i]) for i in range(i_upper)]
second_derivative = [[double_sum.diff(n[i], n[j]) for j in range(i_upper)] for i in range(i_upper)]

или массивы NumPy:

first_derivative = array([double_sum.diff(n[i]) for i in range(i_upper)])
second_derivative = array([[double_sum.diff(n[i], n[j]) for j in range(i_upper)] for i in range(i_upper)])

Ограничения этого подхода: (a) должно знать числосимволы во время формирования выражений;(б) не может принимать индексы i или j в качестве параметров функции lambdified.