Предположим, у вас есть уникальный идентификатор для каждого пользователя. Тогда вы можете добавить этот идентификатор к имени ключа:
var userId1 = 123;
var userId1 = 321;
chrome.storage.local.set('user_' + userId1, {...}); // Set data for User 1
chrome.storage.local.set('user_' + userId2, {...}); // Set data for User 2