Разложить эрмитову матрицу на произведение вектора и его сопряженную транспозицию

Question

Предположим, у меня есть (n x n) эрмитова матрица A, определенная как произведение (n x m) матрицы B, и это эрмитово транспонирование:

A = B * B '

Матрица B известна, она не структурирована и является положительно определенной.

1) Как разложить матрицу A на произведение u * u ', где u - вектор длины n?

2) Можно ли рассчитать u непосредственно из B, без предварительного вычисления полной матрицы A?

Answer 1

Используйте разложение по сингулярным значениям B. Собственные векторы A являются левыми сингулярными векторами B, а собственные значения A являются квадратами величин сингулярных значений B. (В приведенных ниже уравнениях 'обозначает сопряженное транспонирование).)

B = USV '

A = BB' = USV '(USV') '= USV'VS'U' = USS'U '

Теперь,с собственным разложением A вы можете выразить A как взвешенную сумму uu ', где u - столбцы U (собственные, а веса (собственные значения) - диагональные значения SS'.