case
нельзя использовать для значений, которые не являются порядковыми типами (обычно целочисленные значения), как говорится в сообщении об ошибке.Вам нужно будет использовать if..else
вместо.
procedure TForm2.Button1Click(Sender: TObject);
begin
if AdvBadgeGlowButton1.Caption = 'Test' then
ShowMessage('Test')
else if AdvBadgeGlowButton1.Caption = '' then
ShowMessage('Empty')
else
ShowMessage('Got unknown caption ' + AdvBadgeGlowButton1.Caption);
end;