Вот как вы получите ваш API:
fetch(yourLogoutApi, { method: "GET" })
.then(response => response.json())
.then(responseJson => {//do something with responseJson if you want to})
.catch(error => {console.error(error);});
И чтобы удалить свой токен доступа, используйте AsyncStorage.removeItem('yourtokenKEY');
, а затем перейдите к Экрану входа, используя this.props.navigation.navigate('Login');