След квадратной матрицы?

Question

, если A - матрица nxn некоторого базиса | b>.Как мы можем показать, что след А на самом деле является суммой диагональных элементов?

Я хочу понять, почему Aii = .

Я знаю, что унитарная матрица может преобразовывать базис в другую, например, U | b> = | b '>.Может ли это помочь понять концепцию следа?

Я не физик, так что это может быть легко понять другим.

Answer 1

Ключевым свойством трассировки является tr (B A) = tr (A B), что легко подтверждается из определения как сумма диагональных элементов.Если вы измените базу, матрица A изменится на A ~ = X A inv (X).Итак, из вышесказанного tr (A ~) = tr (A).Это еще один способ сказать, что след - это сумма диагональных элементов, какую бы базу вы ни выбрали.

Answer 2

В данном базисе кет |i> может быть записан как вектор-столбец со всеми элементами 0, кроме i ^th , который равен 1;аналогично, бюстгальтер можно записать в виде вектора строки со всеми элементами 0, кроме i ^th , что равно 1.

<i|A|i> = [Sum j] [Sum k] <i| _j A _jk |i> _k
= [Сумма j] [Сумма k] ∂ _ij A _jk ∂ _ki
= A _ii

Answer 3

Во-первых, я думаю, что этот вопрос лучше подходит для Physics Stack Exchange или Math Stack Exchange , потому что вы не задаете вопрос, связанный с кодированием.

Во-вторых, трасса буквально определяется как сумма диагональных элементов матрицы.

В-третьих, ваш второй вопрос касается внутреннего продукта и нотации Дирака .Дирак назвал <a| «бюстгальтер» и |b> «кет».Внутренний продукт - это, в основном, точечный продукт, но для пространства с большими измерениями.В физике нотация Дирака - это сокращение, которое мы используем, чтобы сделать написание матричных операций для квантовых систем чище.Вы увидите, что бюстгальтеры и кеты используются для представления волновых функций и спиновых состояний, и тогда внутренний продукт - это энергия системы в этом состоянии и спин этого состояния.Опять же, этот вопрос действительно лучше подходит для обмена физическими стеками.