Вот один из способов.Исчисление дает нам формулы для определения углов направления в любой точке циклоиды и длины дуги вдоль циклоиды.Аналитическая геометрия говорит нам, как использовать эту информацию для нахождения нужных вам точек.
Кстати, график, составленный путем накатывания фигуры вдоль другой фигуры, называется рулеткой .Мой код довольно прост и может быть оптимизирован, но теперь он работает, может использоваться для других задач и разбит на части, чтобы облегчить понимание математики и алгоритма.Чтобы понять мой код, используйте эту схему.Циклоид - это синяя кривая, черные круги - это вращающийся круг на циклоиде, точка А - это «опорная точка» (точка, где точка обода касается циклоиды - я хотел сделать этот код общим), и точка Fэто точка подвижного обода.Две красные дуги имеют одинаковую длину, что мы имеем в виду, катая круг вдоль циклоиды.
И вот мой код.Спросите, нужна ли вам помощь с источником различных формул, но в углах направления и длинах дуг используется исчисление.
"""Numpy-compatible routines for a standard cycloid (one caused by a
circle of radius r above the y-axis rolling along the positive x-axis
starting from the origin).
"""
import numpy as np
def x(t, r):
"""Return the x-coordinate of a point on the cycloid with parameter t."""
return r * (t - np.sin(t))
def y(t, r):
"""Return the y-coordinate of a point on the cycloid with parameter t."""
return r * (1.0 - np.cos(t))
def dir_angle_norm_in(t, r):
"""Return the direction angle of the vector normal to the cycloid at
the point with parameter t that points into the cycloid."""
return -t / 2.0
def dir_angle_norm_out(t, r):
"""Return the direction angle of the vector normal to the cycloid at
the point with parameter t that points out of the cycloid."""
return np.pi - t / 2.0
def arclen(t, r):
"""Return the arc length of the cycloid between the origin and the
point on the cycloid with parameter t."""
return 4.0 * r * (1.0 - np.cos(t / 2.0))
# Roulette problem
def xy_roulette(t, r, T, R):
"""Return the x-y coordinates of a rim point on a circle of radius
R rolling on a cycloid of radius r starting at the anchor point
with parameter T currently at the point with parameter t. (Such a
rolling curve on another curve is called a roulette.)
"""
# Find the coordinates of the contact point P between circle and cycloid
px, py = x(t, r), y(t, r)
# Find the direction angle of PC from the contact point to circle's center
a1 = dir_angle_norm_out(t, r)
# Find the coordinates of the center C of the circle
cx, cy = px + R * np.cos(a1), py + R * np.sin(a1)
# Find cycloid's arc distance AP between anchor and current contact points
d = arclen(t, r) - arclen(T, r) # equals arc PF
# Find the angle φ the circle turned while rolling from the anchor pt
phi = d / R
# Find the direction angle of CF from circle's center to rim point
a2 = dir_angle_norm_in(t, r) - phi # subtract: circle rolls clockwise
# Find the coordinates of the final point F
fx, fy = cx + R * np.cos(a2), cy + R * np.sin(a2)
# Return those coordinates
return fx, fy
import matplotlib.pyplot as plt
r = 1
R = 0.75
T = np.pi / 3
t_array = np.linspace(0, 2*np.pi, 201)
cycloid_x = x(t_array, r)
cycloid_y = y(t_array, r)
roulette_x, roulette_y = xy_roulette(t_array, r, T, R)
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_aspect('equal')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
ax.plot(cycloid_x, cycloid_y)
ax.plot(roulette_x, roulette_y)
plt.show()
А вот итоговый график.Вы можете сделать это по своему усмотрению.Обратите внимание, что это имеет только круг, катящийся вдоль одной арки циклоиды.Если вы проясните, что должно происходить на каспах, это может быть расширено.
Или, если вы хотите меньший круг и кривую, которая заканчивается наострые выступы (здесь r = 1, T = 0 n = 6 (количество маленьких арок) и R = 4 * r / np.pi / n)
