Вы всегда ссылаетесь на это свойство, вы должны правильно его клонировать, например:
let t={};
Object.assign(t,this.todo)
this.todos.push( t );
Еще одна проблема, которую я вижу в вашем коде, заключается в том, что вы удаляете неправильную задачу, чтобы исправить это, просто передавиндекс выбранного задания для метода deleteTodo
следующим образом:
<ul>
<li v-for="(todo,i) in todos" :class="{ completed: todo.isActive }" @click="$set(todo, 'isActive', !todo.isActive)">
{{ todo.task }} <span v-on:click="deleteTodo(i)">{{ todo.delete }}</span>
</li>
</ul>
и использование this.todos.splice(i,1);
для удаления данного задания:
deleteTodo: function(){
this.todos.splice(i,1);
}