Simpy рассчитать n-й рецидив без использования rsolve

Question

Я работаю над написанием приложения, которое должно решить некоторые рекуррентные отношения, но есть некоторые отношения, которые не могут быть аналитически решены с помощью метода rsolve из sympy.Он просто возвращает None.Есть ли способ заставить Симпи решить их численно?

У меня есть что-то вроде этого:

from sympy import *

ctx = {
  "f": Function("f"),
  "x": var("x",integer=True)
}

initial_conditions = {
    0: 1,
    1: 1,
    2: 1,
    3: 1
}

f = sympify("-2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3 -f(x)", ctx)

# calculate f(10) here without creating a closed from
# The code below will not work rsolve returns None
solve_for = sympify("f(x)", ctx)
solved = rsolve(f, solve_for, initial_conditions)

Я надеюсь, что кто-то может мне помочь!

Answer 1

Вот мое решение для численной оценки рекуррентных отношений.Когда вы указываете отношение повторения в качестве входных данных для упрощения, убедитесь, что значение f(x) не является частью строки.То есть, если ваше рекуррентное отношение равно

f(x) = -2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3

, ваша входная строка должна быть просто:

"-2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3"

Кроме того, это решение ограничено линейными рекуррентными отношениями, хотя оно может быть расширено для другихслучаи также.

Код выполняет обход дерева синтаксиса рекуррентного отношения и оценивает каждый узел либо численным вычислением, либо путем поиска известного значения f (x).

from sympy import *
import operator
ctx = {
  "f": Function("f"),
  "x": var("x",integer=True)
}

initial_conditions = {
    0: 1,
    1: 1,
    2: 1,
    3: 1
}

func1 = sympify("-2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3", ctx)



def contains_function(f):
    if issubclass(type(f),Function):
        return True
    r = map(contains_function,f.args)
    return (sum(r) != 0)


def get_numeric_value(arg):

    if arg.is_number:
        if arg.is_integer:
            return int(arg)

        else:
            return float(arg)    
    else:
        return None

def evaluate_at(f, n, initial_conditions):


    if f.is_Add:
        result = 0
        op = operator.add
    elif f.is_Mul:
        result = 1
        op = operator.mul
    elif f.is_Function:
        func_arg = f.args[0]
        func_arg_val = int(func_arg.subs(func_arg.free_symbols.pop(),n))
        if not func_arg_val in initial_conditions:
            return None
        else:
            return initial_conditions[func_arg_val]

    else:
        return None

    for arg in f.args:
        if arg.is_number:
            result= op(result, get_numeric_value(arg))
        elif contains_function(arg):
            r = evaluate_at(arg,n,initial_conditions)
            if r:
                result=op(result,r)
            else:
                return None
        else:
            result =op(result,get_numeric_value(arg.subs(arg.free_symbols.pop(),n)))


    return result


known_values = dict(initial_conditions)
for n in range(4,11):
    known_values[n]  = evaluate_at(func1,n,known_values)

Answer 2

Это может быть случай, когда нет аналитического решения (см. Ниже) этой проблемы, я бы рассмотрел подход линейной алгебры здесь :

from sympy import Function, rsolve
from sympy.abc import n

y = Function("y")
initial_conditions = {y(0): 1, y(1): 1, y(2): 1, y(3): 1}
f = -2*y(x-1)+11*y(x-2)+12*y(x-3)-36*y(x-4)+41**(x-4)+3-y(x)
print(rsolve(f, y(x)))
print(rsolve(f, y(x), initial_conditions))

Возвращает:

(-3)**x*(C0 + C1*x) + 2**x*C1*(C0 + C1*x)/C0 + 41**x/2944656 + 3/16

None