Сначала вы должны получить ручку для второй формы, которую вы хотите открыть.Если он был ранее создан и сохранен как переменная класса, используйте его, в противном случае создайте его в этом методе и откройте его.
Чтобы вы могли заполнить текстовое поле в другой форме, вам необходимо установитьэто accessor как public или создайте для него метод общего доступа.
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
string automationId = "Form1";
string newTextBoxValue = "user1";
var condition = new PropertyCondition(AutomationElement.AutomationIdProperty, automationId);
var textBox = AutomationElement.RootElement.FindFirst(TreeScope.Subtree, condition);
ValuePattern vPattern = (ValuePattern)textBox.GetCurrentPattern(ValuePattern.Pattern);
vPattern.SetValue(newTextBoxValue);
// this is the idea, not tested, adjust it to yourself
var form2 = new SecondForm();
form2.YourTextBox.Text = newTextBoxValue;
form2.Show();
}