Изменение на правильное использование заглавных букв, кажется, исправило это для моего теста на Chrome.
Измените на:
$("#myDropDownList").val(sessionStorage.getItem("SelectedItem"));
Расширяя, почему немного.Похоже, JQuery использует соответствующие методы браузера, если они доступны, и они, как правило, чувствительны к регистру.Я думаю, что это не в Firefox.