Если я правильно понимаю, вы спрашиваете только о добавлении выбранного пользователем имени файла в элемент управления TextBox рядом с кнопкой. Вы НЕ спрашиваете о фактической загрузке файла. Если это правильно, тогда я отвечу, что вы можете сделать это:
OpenFileDialog dlg = new OpenFileDialog();
dlg.Multiselect = false;
if (dlg.ShowDialog() == true)
{
yourTextBox.Text = dlg.File.Name;
// Read stream of data from file, etc.
}
Невозможно отобразить полный путь, который был бы доступен через dlg.File.FullName из-за ограничений безопасности в Silverlight.