Создайте переменную и первоначально определите эту переменную как параметр, который вы хотите включить - например:
var trHTML;
trHTML = '<option value=""></option>'
Затем выполните цикл по вашему набору результатов, добавляя каждый элемент обратно в эту переменную
$.each(x, function (i, item) {
trHTML += '<option value=' + value_name +'>'+ display_name +'</option>';
});
Затем добавьте весь список к выбору и запустите Select2
$('#dropdown_name').append(trHTML);
$('#dropdown_name').select2({
placeholder: "foobar",
allowClear: true
});