Вы можете сохранить состояние текущего пользователя в localStorage
(убедитесь, что установите и удалите текущего пользователя при входе / выходе из системы. Предполагая, что вы используете JWT
или стандартный, это должно быть довольно просто.
На вашем фоне / скрипте контента используйте:
chrome.storage.sync.set({key: value}, function() {
console.log('Value is set to ' + value);
});
chrome.storage.sync.get(['key'], function(result) {
console.log('Value currently is ' + result.key);
});