Python 3.8 был выпущен совсем недавно, поэтому для Python 3.8 пока нет колес.
На данный момент самый простой способ начать работу - это использовать последнюю версию Python 3.7.X и установить бинарный файл. колесо с:
pip install psycopg2-binary
Я не буду пытаться строить из исходного кода, если вам абсолютно не нужно использовать Python 3.8.
Наконец, вы неправильно поняли раздел документации о Python 2. ВыPython 2.7 нужен только в том случае, если вы работаете с Python 2. Для Python 3, который вы должны использовать для всех новых проектов, он в настоящее время поддерживает Python от 3.4 до 3.8.