Потребление веб-сервисов (при условии http / json) в платформе Uno работает так же, как и в любом приложении. NET. Используйте HttpClient
Я не знаком с SwaggerClient, но я предполагаю, что под капотом есть HttpClient.
Для WebAssembly вам нужно создать WasmHttpHandler и затем передайте его как innerHandler для HttpClient.
#if __WASM__
var innerHandler = new Uno.UI.Wasm.WasmHttpHandler();
#else
var innerHandler = new HttpClientHandler();
#endif
_httpClient = new HttpClient(innerHandler);
См. https://github.com/unoplatform/uado для примера использования HttpClient.