(1) В каждом интервале есть простое число, размер которого составляет 10 ^ 8.
Для каждой пары (x, y) существует az такое, что если интервал [x, y ] не меньше 10 ^ 8, тогда в этом интервале, который является простым, существует az.
ForAll(x).ForAll(y).Exists(z).(y - x >= 10^8) -> (x <= z <= y and IsPrime(z)).
(2) Существуют бесконечные пары последовательных простых чисел (p, q), удовлетворяющие | p - q | <= 10 ^ 8. </p>
Для каждого x существуют p и q с x <= p <q, такие что p и q простые и | p - q | <= 10 ^ 8. </p>
ForAll(x).Exists(p).Exists(q).(x <= p < q) and IsPrime(p) and IsPrime(q) and (q - p) <= 10^8
(3) Нет, они не являются логически эквивалентными. Может быть бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются менее чем на 10 ^ 8, но если существует хотя бы один интервал размером 10 ^ 8, который не содержит простого числа (ни на концах, ни в середине), первое условие ложно. Следовательно, первое условие может быть ложным, а не второе. Если ровно одно из этих двух утверждений доказуемо неверно, оно должно быть первым. Действительно, первое из них подразумевало бы линейную нижнюю границу для числа простых чисел до заданного числа, но из теоремы о простых числах мы знаем, что n / log (n) является действительной асимптотикой c поведения.