То, что вы хотите сделать, это скрывать все цитаты каждый раз, когда вы генерируете новую случайную цитату. Я также обновил вашу случайную функцию, чтобы она использовала количество кавычек, чтобы она могла быть более динамичной c для вас.
let quotes = document.getElementsByClassName("quotes");
let btn = document.getElementById("generate");
btn.addEventListener('click',function(){
for(var i = 0;i<quotes.length;i++){
quotes[i].style.display = "none";
}
let random = Math.floor(Math.random() * quotes.length);
quotes[random].style.display = "block";
});
.quotes{display:none;}
<div class="quotes">1</div>
<div class="quotes">2</div>
<div class="quotes">3</div>
<button id="generate" type="button">Generate</button>