Почему форма эшелона строки работает для нахождения ранга матрицы?

Question

Я изучал линейную алгебру и наткнулся на метод исключения Гаусса. Хотя это дает правильные ответы, я не могу понять, как это работает. Итак, мы сравниваем каждую строку с остальными строками, чтобы увидеть, зависит ли какой-либо из них от текущей строки. Но как определить, является ли одна из строк в матрице линейной комбинацией двух или более других строк?

Answer 1

• Это основано на том результате, что элементарные операции со строками не изменяют ранг матрицы. Следовательно, если мы уменьшим исходную матрицу до ее эшелонированной формы строки, две матрицы будут иметь одинаковый ранг.

• Чтобы увидеть, что ненулевые строки линейно независимы, предположим, что r1, r2, ..., rk - ненулевые строки (отсортированные в указанном порядке), рассмотрим c1r1 + ... + ckrk = 0. Посмотрите на позицию лидирующей ненулевой записи r1, для этой позиции, других записей там есть значение 0, поэтому мы приходим к выводу, что c1 = 0. После этого мы можем заключить тот же аргумент для c2 и т. д. и заключить, что все f их должны быть равны нулю, и, следовательно, ранг равен количеству ненулевых строк .