Вам необходимо вставить значение переменной в строку. Один из способов - объединение символов:
str = 'aaabbbaaa';
searchchar = 'a'
expr = ['^',searchchar,'+'];
regexp(str, expr)
Другой способ - использовать sprintf
для построения строки выражения:
expr = sprintf('^%s+',searchchar);