При просмотре массива или объекта вам нужно установить значение true в значении true, чтобы Vue знал, что он должен отслеживать вложенные данные на предмет изменений.
watch: {
getSkills: {
handler () {
this.list = this.getSkills.map(items => {
return { value: items.id, label: items.name }
})
},
deep: true
}
}