Вы можете использовать LocalStorage следующим образом:
window.localStorage.setItem('key', 'content')
И читать его так:
const val = window.localStorage.getItem('key')
В вашем случае вы сохраните его таким образом:
$(".saveBtn").click(function() {
const value = $(this).siblings("textarea").val();
localStorage.setItem('myVal', value);
})
Таким образом, вы можете отобразить его с помощью текстовой области следующим образом:
const savedVal = localStorage.getItem('myVal')
$(this).siblings("textarea").val(savedVal);