Как рассчитать углы поворота, необходимые для X и Z, чтобы выровнять два вектора - PullRequest
Новая
       18

Как рассчитать углы поворота, необходимые для X и Z, чтобы выровнять два вектора

1 голос
/ 26 мая 2020

Я пытаюсь повернуть vector1 (красный) так, чтобы он выровнялся с vector2 (синий) в трехмерном пространстве. Однако следует использовать только вращения вокруг осей X и Z.

vector sample representation

До сих пор я решил эту проблему, используя алгоритм оптимизации, который пытается минимизировать углы вокруг осей X и Z между векторами. В большинстве случаев это сработало довольно хорошо, но, поскольку мне приходится вычислять множество этих векторов, это слишком медленно.

Код, который я использовал для подхода к оптимизации: 

vector1 = np.array([0., -1., 0.])
vector2 = np.array([0.2, -0.2, -0.5])

def find_a_c(x, *args):
    vector1, vector2 = args[0], args[1]
    angle_x, angle_z = x[0], x[1]

    # Rotation matrices to rotate around X and Z
    Rx = np.array([[1., 0., 0.],
                  [0., np.cos(angle_x), -np.sin(angle_x)],
                  [0., np.sin(angle_x), np.cos(angle_x)]])

    Rz = np.array([[np.cos(angle_z), -np.sin(angle_z), 0.],
                  [np.sin(angle_z), np.cos(angle_z), 0.],
                  [0., 0., 1.]])

    vector1 = vector1.dot(Rx).dot(Rz)

    # calulate the angle between the vectors around X and Z
    angle_x = angle_between_vectors([vector2[1], vector2[2]], [vector1[1], vector1[2]])
    angle_z = angle_between_vectors([vector2[0], vector2[1]], [vector1[0], vector1[1]])

    return np.abs(angle_x) + np.abs(angle_z)

solution = minimize(fun=find_a_c,
                    x0=[0., 0.],
                    args=(vector1, vector2))

angle_x, angle_z = solution.x[0], solution.x[1]
print("Angle around X: {}°\nAngle around Z: {}°".format(np.rad2deg(angle_x), np.rad2deg(angle_z)))

Распечатывает: 

Angle around X: -60.46948402478365°
Angle around Z: -45.0000003467713°

Теперь я ищу аналитический подход, который решает мою проблему. Например, матрица вращения, сформированная с двумя углами поворота (вокруг X и Z), чтобы выровнять vector1 с vector2.

1 Ответ

1 голос
/ 27 мая 2020

Это скорее математический вопрос. Я не уверен, как правильно писать здесь математику, но вы можете сделать следующее. Если вы сначала повернетесь вокруг оси X, а затем вокруг оси Z, ваше последнее вращение не изменит проекцию z. Если (a, b, c) - начальный нормированный вектор, а (x, y, z) - конечный нормированный вектор, вы можете написать b * sin(f) + c * cos(f) = z на основе матрицы вращения вокруг оси X, где f - угол поворота вокруг оси X. Затем, основываясь на равенстве из википедии (это кажется не совсем правильным: часть sng (c) должна быть удалена), вы можете найти значение f. Таким образом, вы можете рассчитать матрицу поворота по оси X и получить вектор после применения этого поворота (a', b', c'). Затем умножив его на матрицу вращения оси Z и записав равенства для x и y, вы можете найти значения sin и cos угла поворота оси Z. 

import numpy as np

vector1 = np.array([0., -1., 0.])
vector2 = np.array([0.2, -0.2, -0.5])
vector2 = vector2 / np.linalg.norm(vector2)
a, b, c = vector1
x, y, z = vector2
def angle(b, c, z):
    return np.arccos(z / np.sqrt(b ** 2 + c ** 2)) - np.arctan2(-b, c)

x_angle = angle(b, c, z)
x_after_x_rotation = a
y_after_x_rotation = b * np.cos(x_angle) - c * np.sin(x_angle)

det = np.sqrt(x_after_x_rotation ** 2 + y_after_x_rotation ** 2)
sin = x_after_x_rotation * y - y_after_x_rotation * x
cos = y_after_x_rotation * y + x_after_x_rotation * x
sin /= det
cos /= det
z_angle = np.arctan2(sin, cos)

print(np.rad2deg(x_angle), np.rad2deg(z_angle))
# 60.50379150343357 45.0
...