РЕШЕНО.
Мне удалось получить доступ к одному пользователю в макете FileMaker с помощью Dio.
Dio dio = Dio();
dio.options.headers['content-Type'] = 'application/json';
dio.options.headers["authorization"] = "Bearer ${token}";
Response recordResponse;
recordResponse = await dio.post(
findUrl,
options: Options(followRedirects: false, validateStatus: (status)
{return status < 500;}),
data: { "query":
[{
"username": "=Jake",
"password": "=password"
}]
}
);