Ваши обработчики событий присоединяются, как только загружается DOM. И когда это происходит, элемента с идентификатором #menu_close еще нет (поскольку он добавляется только после того, как вы щелкнете по .menu_container), поэтому второй обработчик событий ни к чему не привязан.
Вы можете переместить его вверх внутри первая функция такая:
$('.menu_container').on('click', function(){
$('body').addClass('no-scroll');
$('.menu_container').attr('id', 'menu_close');
$('#menu_close').on('click', function(){
$('body').removeClass('no-scroll');
$('#menu_close').removeAttr('menu_close');
});
});