Этот фрагмент вернет строку, содержащую код. Вверху есть некоторая информация заголовка, которую вы, возможно, захотите проанализировать, но она довольно проста.
string html = Clipboard.GetData(DataFormats.Html).ToString();
Вы сможете заполнить это в текстовое поле или поле richtext, как вам нравится.