сокращение строк
Самый простой способ (и на самом деле неплохой) найти определитель матрицы nxn - это сокращение строк. Имея в виду несколько простых правил о детерминантах, мы можем решить в виде:
det ( A ) = α * det ( R ), где R - форма эшелона строк исходной матрицы A , а α - некоторый коэффициент.
Найти определитель матрицы в виде ряда эшелонов действительно легко; вы просто находите произведение диагонали. Решение определителя исходной матрицы A затем сводится к вычислению α, когда вы найдете форму ряда строк R .
Что нужно знать
Что такое форма эшелона рядов?
См. ссылку для простого определения
Примечание: Не для всех определений требуются 1 для ведущих записей, и в этом алгоритме нет необходимости.
Вы можете найти R, используя элементарные операции со строками
Обмен строк, добавление кратных для другой строки и т. Д.
Вы получаете α из свойств операций со строками для определителей
Если B - это матрица, полученная умножением строки A на некоторую ненулевую константу ß, то
дет ( B ) = ß * дет ( A )
- Другими словами, вы можете по существу «выделить» константу из строки, просто вытянув ее перед определителем.
Если B - это матрица, полученная путем замены двух строк на A , то
дет ( B ) = -дет ( A )
- Если вы поменяете местами, переверните знак.
Если B - это матрица, полученная путем добавления кратного числа одной строки к другой строке в A , то
det ( B ) = det ( A )
- Определитель не изменяется.
Обратите внимание, что вы можете найти определитель, в большинстве случаев, только с правилом 3 (я думаю, что диагональ А не имеет нулей), а во всех случаях только с правилами 2 и 3. Правило 1 полезно для людей. делать математику на бумаге, пытаясь избежать дроби.
Пример
(я делаю ненужные шаги, чтобы более четко продемонстрировать каждое правило)
| 2 3 3 1 |
<strong>A</strong>=| 0 4 3 -3 |
| 2 -1 -1 -3 |
| 0 -4 -3 2 |
R<sub>2</sub> <-> R<sub>3</sub>, -α -> α (Rule 2)
| 2 3 3 1 |
-| 2 -1 -1 -3 |
| 0 4 3 -3 |
| 0 -4 -3 2 |
R<sub>2</sub> - R<sub>1</sub> -> R<sub>2</sub> (Rule 3)
| 2 3 3 1 |
-| 0 -4 -4 -4 |
| 0 4 3 -3 |
| 0 -4 -3 2 |
R<sub>2</sub>/(-4) -> R<sub>2</sub>, -4α -> α (Rule 1)
| 2 3 3 1 |
4| 0 1 1 1 |
| 0 4 3 -3 |
| 0 -4 -3 2 |
R<sub>3</sub> - 4R<sub>2</sub> -> R<sub>3</sub>, R<sub>4</sub> + 4R<sub>2</sub> -> R<sub>4</sub> (Rule 3, applied twice)
| 2 3 3 1 |
4| 0 1 1 1 |
| 0 0 -1 -7 |
| 0 0 1 6 |
R<sub>4</sub> + R<sub>3</sub> -> R<sub>3</sub>
| 2 3 3 1 |
4| 0 1 1 1 | = 4 ( 2 * 1 * -1 * -1 ) = 8
| 0 0 -1 -7 |
| 0 0 0 -1 |