средний фильтр изображений

Question

Начинаем изучать фильтрацию изображений и ставим вопрос на веб-сайте: применение фильтра 3 × 3 дважды не дает тот же результат, что и применение фильтра 5 × 5 один раз. Однако можно построить ядро ​​свертки 5 × 5, что эквивалентно. Как выглядит это ядро?

Буду признателен за помощь, чтобы я мог лучше понять предмет. Спасибо.

Answer 1

3х3 означает:

[1 1 1]
[1 1 1] * 1/9
[1 1 1]

3х3 означают дважды:

[1 2 3 2 1]
[2 4 6 4 2]
[3 6 9 6 3] * 1/27
[2 4 6 4 2]
[1 2 3 2 1]

Как? Каждая ячейка вносит косвенный вклад через одно или несколько промежуточных окон 3х3. Рассмотрим набор окон этапа 1, которые вносят вклад в данное вычисление этапа 2. Количество таких окон 3x3, которые содержат данную исходную ячейку, определяет вклад этой ячейки. Средняя ячейка, например, содержится во всех девяти окнах, поэтому ее вклад составляет 9 * 1/9 * 1/9. Я не знаю, объяснил ли я это так хорошо, поэтому надеюсь, что это имеет смысл для вас.

Answer 2

Марсело ответ правильный. Другой способ увидеть это (проще представить сначала в одном измерении): мы знаем, что средний фильтр эквивалентен свертке с прямоугольным окном. И мы знаем, что свертка является линейной операцией, которая также ассоциативна .

Теперь, применяя средний фильтр M к сигналу X можно записать как

Y = M * X

, где * обозначает свертку. Применение фильтра дважды даст

Y = M * (M * X) = (M * M) * X  = M2 * X

Это говорит о том, что фильтрация сигнала дважды с помощью среднего фильтра аналогична фильтрации его один раз эквивалентным фильтром, заданным M2 = M * M. Теперь это состоит в применении среднего фильтра к себе, что дает «более гладкий» фильтр (в данном случае треугольный фильтр).

Процесс можно повторить (см. первый график здесь ) и можно показать, что эквивалентный фильтр для многих повторений среднего фильтра (N сверток прямоугольного фильтра с самим собой) стремится к Гауссов фильтр . Кроме того, можно показать, что гауссов фильтр имеет свойство, которое вы не нашли в прямоугольном (среднем) фильтре: два прохода гауссовского фильтра эквивалентны другому гауссову фильтру.