Вычислить значение кубического Безье T, где касательная перпендикулярна якорной линии - PullRequest
Новая
       37

Вычислить значение кубического Безье T, где касательная перпендикулярна якорной линии

1 голос
/ 20 апреля 2010

Проецируйте кубический Безье p1, p2, p3, p4 на линию p1, p4. Когда p2 или p3 не проецируются на отрезок прямой между p1 и p4, кривая выпирает из опорных точек. Есть ли способ для вычисления значения T, где касательные кривой является перпендикулярной к анкерной линии? * * 1 001

Это также может быть указано как нахождение значений T, где спроецированная кривая находится дальше всего от центра отрезка линии p1, p4. Когда p2 и p3 проецируются на отрезок, то решения равны 0 и 1 соответственно. Есть ли уравнение для решения более интересного случая?

Кажется, что значение T зависит только от расстояния сопоставленных контрольных точек от отрезка якорной линии.

Я могу определить значение путем уточнения догадок, но я надеюсь, что есть лучший способ.

Edit:

Начиная с p1, .., p4 в 2d со значениями x1, y1, ..., x4, y4 Я использую следующий код, основанный на ответе Филиппа: 

dx = x4 - x1;
dy = y4 - y1;
d2 = dx*dx + dy*dy;
p1 = ( (x2-x1)*dx + (y2-y1)*dy ) / d2;
p2 = ( (x3-x1)*dx + (y3-y1)*dy ) / d2;
tr = sqrt( p1*p1 - p1*p2 - p1 + p2*p2 );
t1 = ( 2*p1 - p2 - tr ) / ( 3*p1 - 3*p2 + 1 );
t2 = ( 2*p1 - p2 + tr ) / ( 3*p1 - 3*p2 + 1 );

В примере, который я посмотрел, t2 нужно было вычесть из 1.0, прежде чем он был правильным.

1 Ответ

1 голос
/ 20 апреля 2010

Предположим, вы получили 1-кубическую кривую Безье с P0 = 0 и P3 = 1, тогда кривая: 

P(t) = b0,3(t)*0 + b1,3(t)*P1 + b2,3(t)*P2 + b3,3(t)*1

Где bi,3(t) - полиномы Бернштейна степени 3. Затем мы ищем значение t, где P(t) минимально и максимально, поэтому получаем: 

P'(t) = b1,3'(t)*P1 + b2,3'(t)*P2 + b3,3'(t)
      = (3 - 12t + 9t^2)*P1 + (6t - 9t^2)*P2 + 3t^2
      = 0

Это решение имеет замкнутую форму, но нетривиальное. Согласно WolframAlpha, когда 3P1 - 3P2 +1 != 0 это: 

t = [2*P1 - P2 +/- sqrt(P1^2-P1*P2-P1+P2^2)] / (3*P1 - 3*P2 + 1)

В противном случае это: 

t = 3P1 / (6P1 - 2)

Для общей n-мерной кубики Безье P0 *, P1 *, P2 *, P3 * вычисляют: 

P1 = proj(P1*, P03*) / |P3* - P0*|
P2 = proj(P2*, P03*) / |P3* - P0*|

Где proj(P, P03*) - расстояние со знаком P0* до точки P, спроецированной на линии, проходящей через P0* и P3*.

(Я не проверял это, поэтому, пожалуйста, подтвердите, что в моих рассуждениях нет ничего плохого.)

...