Я понимаю, что для этого потребуется какой-то специальный ErrorMailModule, но с чего мне начать, если я смогу это сделать?
Посмотрите на источник ELMAH и посмотрите, как они написали свои ErrorMailModule.Было бы довольно просто изменить код для использования вашего веб-сервиса.(Просто убедитесь, что вы не нарушаете лицензию ELMAH.)
ErrorMailModule