О да. Я нашел решение. Это немного безумно (потому что я новичок в asp.net и не знаю, как правильно найти дочерние элементы управления).
Решение: элемент управления с отображаемой всплывающей подсказкой был намного глубже.
case "FixedForeColor":
((AjaxControlToolkit.HTMLEditor.ToolbarButton.MethodButton)button.Controls[0].Controls[0].Controls[0].Controls[0]).ToolTip = "Цвет текста";
break;
case "FixedBackColor":
((AjaxControlToolkit.HTMLEditor.ToolbarButton.MethodButton)button.Controls[0].Controls[0].Controls[0].Controls[0]).ToolTip = "Цвет выделения текста";
break;
Если кто-то знает, как сделать это проще, пожалуйста, прокомментируйте.