Просто чтобы уточнить, что говорит Мерлин - то, что вы описываете, невозможно.Веб-сайт может получить доступ только к файлам cookie с собственного домена.Когда вы заходите на facebook.com, ваши cookie-файлы отправляются на этот домен.Когда вы заходите в Google, ваши куки-файлы в Facebook НЕ отправляются туда.Google не может просматривать ваши файлы cookie Facebook.Даже он использует iframes.Период.Это функция безопасности.
Итак, я предлагаю вам взглянуть на другие способы проектирования вашей программной системы.Например, если у встраиваемого веб-сайта есть API, я бы использовал это.Или выполните внутреннюю синхронизацию службы, чтобы получить информацию о пользователе.В любом случае для этого вам необходимо согласие другой службы / другого домена.