В вашей форме, когда отображается сообщение «Спасибо», это означает, что функция почты была запущена, а не то, что она прошла успешно
Функция php mail возвращает true, когда она успешна, и наоборот false.
Не могли бы вы попробовать что-то вроде:
if(mail("me@mysite.com", "Subject: $subject",$message, "From: $email")){
echo "Thank you for using our mail form";
}else{
echo "hmm... seems the mail cannot be sent";
}
также разрешена ли функция mail в php.ini?