Как сделать экспоненциальную и логарифмическую подгонку кривой в Python?Я нашел только полиномиальную подгонку

Question

У меня есть набор данных, и я хочу сравнить, какая строка описывает его лучше всего (полиномы разных порядков, экспоненциальный или логарифмический).

Я использую Python и Numpy, а для полиномиальной подгонки есть функция polyfit(). Но я не нашел таких функций для экспоненциальной и логарифмической подгонки.

Есть ли? Или как это решить иначе?

Answer 1

Для примерки y = A + B log x , просто подходит y против (log *)1011 * x ).

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

---

Для установки y = Ae ^Bx Возьмите логарифм с обеих сторон, дайте log y = log A + Bx .Так что подойдет (log y ) против x .

Обратите внимание, что фитинг (log y ), как если бы он был линейным, будет выделять небольшие значения y , вызывая большое отклонение для больших y .Это происходит потому, что polyfit (линейная регрессия) работает путем минимизации 10 _i (Δ Y ) ² = ∑ _i ( Y _i - Ŷ _i ) ².Когда Y _i = log y _i , остатки Δ Y _i = Δ (log y _i ) ≈ Δ y _i / | y _i |.Таким образом, даже если polyfit принимает очень плохое решение для больших y , «деление на | | y |»фактор будет компенсировать это, в результате чего polyfit благоприятствует небольшим значениям.

Это можно уменьшить, присвоив каждой записи "вес", пропорциональный y .polyfit поддерживает взвешенные наименьшие квадраты с помощью аргумента ключевого слова w.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

Обратите внимание, что в Excel, LibreOffice и большинстве научных калькуляторов обычно используется невзвешенная (смещенная) формула для экспоненциальной регрессии/ линии тренда. Если вы хотите, чтобы ваши результаты были совместимы с этими платформами, не включайте веса, даже если они обеспечивают лучшие результаты.

---

Теперь, если вы можете использовать scipy, вы можетеиспользуйте scipy.optimize.curve_fit, чтобы соответствовать любой модели без преобразований.

Для y = A + B log x результат совпадает с методом преобразования:

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

для y = Ae ^Bx , однако, мы можем получить лучшее соответствие, так как он вычисляет Δ (log y ) напрямую.Но нам нужно предоставить предположение об инициализации, чтобы curve_fit мог достичь желаемого локального минимума.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

Answer 2

Вы также можете подогнать набор данных к любой функции, которую хотите, используя curve_fit из scipy.optimize.Например, если вы хотите разместить экспоненциальную функцию (из документации ):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

А затем, если вы хотите построить график, вы можете сделать:

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

(Примечание: * перед popt при построении графика расширит термины до a, b и c, которых ожидает func.)

Answer 3

У меня были некоторые проблемы с этим, поэтому позвольте мне быть очень откровенным, чтобы такие нубы, как я, могли понять.

Допустим, у нас есть файл данных или что-то в этом роде

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

результат: а = 0,849195983017, б = -1,18101681765, с = 2,24061176543, д = 0,816643894816

Answer 4

Ну, я думаю, вы всегда можете использовать:

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

---

Слегка модифицирующий ответ IanVS :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

Это приводит к следующему графику: