Вам нужно использовать ответ, а не запрос
Response.Cookies["TemplateName"].Value = "";
Response.Cookies["TemplateName"].Expires = DateTime.Now;
РЕДАКТИРОВАТЬ Для VB.
Dim subkeyName As String
subkeyName = "userName"
Dim aCookie As HttpCookie = Request.Cookies("userInfo")
aCookie.Values.Remove(subkeyName)
aCookie.Expires = DateTime.Now.AddDays(1)
Response.Cookies.Add(aCookie)
Response.Cookies("userName").Value = "patrick"
Response.Cookies("userName").Expires = DateTime.Now.AddDays(1)
Эти примеры получены с сайта MSDN
Sidenote
Часто люди пытаются использовать
Request.Cookies.Remove("MyCookie");
Который будет удалять только cookie из «коллекции запросов». Если вы хотите удалить cookie, вам нужно удалить его Подробнее здесь