Функция один в один и на один от другого к другому

Question

Я где-то видел, что если у нас есть функция один-к-одному от множеств X до Y, это означает, что у нас есть функция на от Y до X.понимать это !!Кто-то может объяснить ??

Answer 1

Мы можем визуализировать это, рисуя два круга, представляющих X и Y. Точки в круге представляют элементы в каждом наборе.

Стрелки представляют вашу функцию или «отображение».

То есть 1-1 означает, что каждая точка в круге X отображается на уникальную точку в круге Y.

На означает, что каждая точка имеет стрелку, идущую к ней.Если вы посмотрите на рисунок, X явно не на Y. Есть две точки без стрелок.

Теперь посмотрите на «обратное» отображение, щелкая стрелки на линиях.

Обратите внимание, как в обратном преобразовании каждый элемент X имеет по крайней мере один элемент из Y, идущий к нему?Это ответ на ваш вопрос.1-1 на первом изображении ( X до Y ) означает, что второе изображение ( Y до X ) должно быть на.

Статья в Википедии на Сюръективные функции объясняет это дальше.

Answer 2

Функция F: X → Y равна в (она же инъективная ), если каждый элемент X сопоставлен с отдельным элементом Y:

∀ x ∈ X, ∃ y ∈ Y |f (x) = y;x ₁ ≠ x ₂ ⇒ f (x ₁ ) ≠ f (x ₂ )

Это на (он же сюръективный ), если каждый элемент Y имеет некоторый элемент X, который отображается на него:

∀ y ∈ Y, ∃ x∈ X |y = f (x)

И для F будет один к одному (он же биективный ), оба изэти вещи должны быть правдой.Следовательно, по определению, функция «один к одному» одновременно входит и включается.

Но вы говорите: «Должна существовать функция от Y до X ».Часть "от Y до X" может быть то, что вас сбивает с толку?F на, но это от X до Y .Функция включения от Y до X обратна F.Который также должен быть биективным и, следовательно, на.

Некоторые авторы используют «один-к-одному» как синоним «инъективного», а не «биективного».Это несогласие сбивает с толку, но мы застряли с ним.Однако, согласно определению или , инверсия F существует (каждая инъективная функция имеет инверсию) и сюръективна (F определяется для каждого элемента X, поэтому инверсия F отображает некоторый элемент Y в каждыйэлемент X).