Обновление ответа, 12/22 : Используя наблюдение Питера Шора о том, что существует гомоморфизм между отдельными секциями и перестановками объектов в кубе, перечислите все такие перестановки, представив группу изсимметрии куба в качестве подгруппы SymmetricGroup [8] и с помощью GroupElements / Permute находите назначения центроидов с помощью решателя SAT Mathematica, выбирайте наборы точек с различными значениями единственного числа, немного больше деталей и полный код, указанный здесь
Вопрос
Интересный 2D-разрез - это плоскость, проходящая через центр правильного трехмерного симплекса и 2 других точки, каждая из которых является центроидом некоторогонепустое подмножество вершин.Он определяется двумя подмножествами вершин.Например, {{1}, {1,2}} дает плоскость, определяемую 3 точками - центром тетраэдра, первой вершиной и средним значением первой и второй вершин.
Интересный набор секцийнабор, в котором нет двух секций, определяющих одну и ту же плоскость при перемаркировке вершин.Например, набор {{{1}, {2}}, {{3}, {4}}} не интересен.Существует ли эффективный подход к поиску интересного набора интересных разделов?Мне нужно что-то, что можно было бы обобщить для аналогичной задачи для трехмерных участков 7D симплекса и закончить в одночасье.
Мой попытка подхода приведена ниже.Одна проблема состоит в том, что если вы игнорируете геометрию, некоторые эквивалентные секции будут сохранены, поэтому я получу 10 секций вместо 3. Большая проблема заключается в том, что я использовал грубую силу, и она определенно не масштабируется и (нужно 10 ^ 17сравнение для 7D симплекса)
http://yaroslavvb.com/upload/simplex-sections.png
Вот код Mathematica для создания изображения выше.
entropy[vec_] := Total[Table[p Log[p], {p, vec}]];
hadamard = KroneckerProduct @@ Table[{{1, 1}, {1, -1}}, {2}];
(* rows of hadamard matrix give simplex vertex coordinates *)
vertices = hadamard;
invHad = Inverse[hadamard];
m = {m1, m2, m3, m4};
vs = Range[4];
(* take a set of vertex averages, generate all combinations arising \
from labeling of vertices *)
vertexPermutations[set_] := (
newSets = set /. Thread[vs -> #] & /@ Permutations[vs];
Map[Sort, newSets, {2}]
);
(* anchors used to define a section plane *)
sectionAnchors = Subsets[{1, 2, 3, 4}, {1, 3}];
(* all sets of anchor combinations with centroid anchor always \
included *)
anchorSets = Subsets[sectionAnchors, {2}];
anchorSets = Prepend[#, {1, 2, 3, 4}] & /@ anchorSets;
anchorSets = Map[Sort, anchorSets, {2}];
setEquivalent[set1_, set2_] := MemberQ[vertexPermutations[set1], set2];
equivalenceMatrix =
Table[Boole[setEquivalent[set1, set2]], {set1, anchorSets}, {set2,
anchorSets}];
Needs["GraphUtilities`"];
(* Representatives of "vertex-relabeling" equivalence classes of \
ancher sets *)
reps = First /@ StrongComponents[equivalenceMatrix];
average[verts_] := Total[vertices[[#]] & /@ verts]/Length[verts];
makeSection2D[vars_, {p0_, p1_, p2_}] := Module[{},
v1 = p1 - p0 // Normalize;
v2 = p2 - p0;
v2 = v2 - (v1.v2) v1 // Normalize;
Thread[vars -> (p0 + v1 x + v2 y)]
];
plotSection2D[f_, pointset_] := (
simplex =
Graphics3D[{Yellow, Opacity[.2],
GraphicsComplex[Transpose@Rest@hadamard,
Polygon[Subsets[{1, 2, 3, 4}, {3}]]]}];
anchors = average /@ pointset;
section = makeSection2D[m, anchors];
rf = Function @@ ({{x, y, z, u, v},
And @@ Thread[invHad.{1, x, y, z} > 0]});
mf = Function @@ {{p1, p2, p3, x, y}, f[invHad.m /. section]};
sectionPlot =
ParametricPlot3D @@ {Rest[m] /. section, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
RegionFunction -> rf, MeshFunctions -> {mf}};
anchorPlot = Graphics3D[Sphere[Rest[#], .05] & /@ anchors];
Show[simplex, sectionPlot, anchorPlot]
);
plots = Table[
plotSection2D[entropy, anchorSets[[rep]]], {rep, reps}];
GraphicsGrid[Partition[plots, 3]]