Как бы я обнаружил нажатие одной из клавиш со стрелками в qt?
Обрабатывая событие нажатия клавиши в самом верхнем виджете в иерархии. Смотрите список кодов клавиш , диапазон Qt :: Left - Qt :: Down - это то, что вас интересует.
Кроме того, будет ли приложение по-прежнему обнаруживать их, если оно свернуто?
Нет. Он обнаружил бы их, только если бы у него был фокус клавиатуры, а это не тот случай, когда он свернут. Вы не можете настроить глобальные горячие клавиши в кроссплатформенном режиме в Qt.