Вычисление 95% доверительного интервала на сумму n i.i.d. экспоненциальные случайные величины

Question

Давайте на самом деле обобщим до c -доверенности. Пусть параметр общей ставки будет a. (Обратите внимание, что среднее экспоненциального распределения с параметром скорости a равно 1/a.)

Сначала найдите cdf суммы n, такой как i.i.d. случайные переменные. Используйте это, чтобы вычислить c доверительный интервал для суммы. Обратите внимание, что максимальная оценка вероятности (MLE) суммы составляет n/a, т. Е. n умноженное на среднее значение одного розыгрыша.

Справочная информация. Это происходит в программе, которую я пишу, для оценки времени с помощью случайных выборок. Если я беру пробы в соответствии с пуассоновским процессом (т. Е. Промежутки между выборками имеют экспоненциальное распределение), и n из них происходят во время действия X, какова хорошая оценка продолжительности действия X? Я почти уверен, что ответ - это ответ на этот вопрос.

Answer 1

Как намекнул Джон Д. Кук, сумма i.i.d. экспоненциальные случайные величины имеют гамма-распределение.
Вот cdf суммы n экспоненциальных случайных величин с параметром скорости a (выраженным в Mathematica):

F[x_] := 1 - GammaRegularized[n, a*x];

http://mathworld.wolfram.com/RegularizedGammaFunction.html

Обратный cdf:

Fi[p_] := InverseGammaRegularized[n, 1 - p]/a;

Тогда доверительный интервал c равен

ci[c_, a_, n_] := {Fi[a, n, (1-c)/2], Fi[a, n, c+(1-c)/2]}

Вот некоторый код для эмпирической проверки правильности вышеприведенного:

(* Random draw from an exponential distribution given rate param. *)
getGap[a_] := -1/a*Log[RandomReal[]]

betw[x_, {a_, b_}] := Boole[a <= x <= b]

c = .95;
a = 1/.75;
n = 40;
ci0 = ci[c, a, n];
N@Mean@Table[betw[Sum[getGap[a], {n}], ci0], {100000}]

----> 0.94995

Answer 2

Я бы использовал черновскую границу , из которой вы можете импровизировать интервал, потому что выражение довольно обобщенно, и вы можете решить, что ограниченный диапазон неправильный

Граница Черноффа является примерно самой сильной границей, которую вы можете получить для переменных iid, не зная слишком много функций, генерирующих моменты.

Answer 3

Совет: сумма независимых экспоненциальных случайных величин является гамма-случайной величиной.