Эллипс вписывается по касательной в линию, изменяющую одну ось - PullRequest
Новая
       4

Эллипс вписывается по касательной в линию, изменяющую одну ось

1 голос
/ 01 ноября 2010

График этой проблемы здесь:

http://dl.dropbox.com/u/13390614/Question.jpg

Возьмите выровненный по оси эллипс с фиксированным малая ось и вытяните эллипс вдоль его главная ось, пока он не станет касательным в некоторый отрезок (A на рисунке).

Каковы координаты тангента точка (P), или, что бы большая ось длина будет?

Я знаю, как рассчитать большую ось, если у меня есть касательная точка, и может вычислить точку если у меня есть большая ось, но ни с одним, Я в тупике

Я также решил это, когда малая ось растягивается вместе с основными, поддерживая Соотношение. Проблема в том, когда одна ось фиксированный.

Любые идеи будут оценены, особенно через триг.

Гари

Ответы [ 2 ]

2 голосов
/ 01 ноября 2010

Рассмотрим 

x^2/max^2 + y^2/fix^2 = 1; % ellipse
Ax + By + C = 0;            % segment line

Тогда 

x^2/max^2 + (Ax + C)^2/(B*fix)^2 = 1; // Quadratic equation

Ваше решение, когда дискриминант равен 0. 

   x^2   (1/max^2 + A^2/(B*fix)^2)   
+  x      2 AC/(B*fix)^2
+        C^2/(B*fix)^2 - 1  
= 0

a = (1/max^2 + A^2/(B*fix)^2);
b = 2 AC/(B*fix)^2;
c = C^2/(B*fix)^2 - 1.

b^2 = 4ac   ==>   a = b^2/c    ==>
a = 4(AC)^2/(B*fix)^4 / ( C^2/(B*fix)^2 - 1 )
1/max^2 = 4(AC)^2/(B*fix)^4 / ( C^2/(B*fix)^2 - 1 ) - A^2/(B*fix)^2);
0 голосов
/ 01 ноября 2010

Точка P имеет y-координату r ^ 2 / h, где r - это полу-малая ось эллипса (так что здесь r = 0,75), а h - это y-координата точки, где расширение вашего сегментавстречает ось Y (назовите эту точку H).

Почему это?Итак, представьте, что мы знаем, что такое правильный эллипс и точка P, и теперь выполним аффинное преобразование (x, y) -> (kx, y), где k выбрано так, чтобы эллипс превратился в круг.Это не перемещает H, поскольку H находится на оси y, и оно перемещает P в точку P 'с той же координатой y, так что HP' является касательным сегментом от H к окружности радиуса r.По аналогичным прямоугольным треугольникам P '(и, следовательно, P) имеет y-координату r ^ 2 / h.

Конечно, может случиться так, что P не лежит на исходном сегменте, а только его продолжение до линииили что вертикальная ось фактически является главной осью результирующего эллипса;вам может потребоваться проверить это в зависимости от вашего приложения.

...