Если у вас есть приложение, которое использует вашу библиотеку под названием MyApp, то строка подключения, определенная в MyApp.exe.config, будет доступна для вашей библиотеки. Вообще говоря, клиентская программа должна устанавливать среду конфигурации, а не библиотеку.
If GetApplicationSetting("connectionString") Is Nothing Then
Throw New Exception("Could not retrieve connection string from .config file")
Else
Return ConfigurationManager.AppSettings.Item("connectionString")
End If
Убедитесь, что у вас загружена платформа System.Configuration для доступа к ConfigurationManager.
РЕДАКТИРОВАТЬ 1: Если вы используете его в веб-приложении, задайте строку подключения в web.config.
РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Если вы установите строку подключения в разделе ConnectionStrings файла .exe.config или web.config, вы можете получить к нему доступ, используя:
ConfigurationManager.ConnectionStrings("MyConnectionString")