"сфера в сумке" проекция плоскости на сферу

Question

Я ищу математическое преобразование для преобразования точек на двумерной плоскости [0,1]x[0,1] в сферу единиц.

Самая распространенная проекция - это отображение широты и долготы путем интерпретации u и v как углов для сферических координат (отображение u до [0,2PI] и v до [-PI/2, PI/2])

Это дает сильные искажения на полюсах сферы. Можно думать об этом преобразовании, как оборачивая сферу в бумажный пакет, закручивая бумагу на обоих концах. Это даст искажения на этих двух концах.

Преобразование, которое я ищу, может состоять в том, чтобы поместить сферу в середину листа бумаги, положить все стороны вокруг сферы и скрутить их вместе в одном месте - так что вы получите небольшой бумажный пакет с вашим сфера в нем. Это приводит к минимальному искажению в нижней части «мешка» и максимальному искажению в верхней части - и если смотреть снизу, искажение одинаково во всех направлениях.

Может кто-нибудь сказать мне, как рассчитать этот вид отображения?

Answer 1

Для отображения, которое вы описываете, вы можете использовать полярные координаты: (x, y) -> (r, alpha), где r находится в [0,1], представляющем отношение расстояния от центра прямоугольник O (0.5,0.5) до текущей точки P (x, y) и максимальная длина этого сегмента при текущем значении альфа. Затем сопоставьте r с [-PI / 2, PI / 2] и альфа с [0,2PI].

Answer 2

Я думаю, вы ищете Экспоненциальная карта .См. Также Составление интерактивных наклеек с дискретными экспоненциальными картами .

Answer 3

Правильный ответ зависит от того, какое свойство оригинала необходимо сохранить, потому что каждая отдельная проекция карты искажается особым образом.Некоторые сохраняют области, некоторые сохраняют углы, некоторые сохраняют расстояния.

Если предположить, что речь идет о фигурах, то я бы предложил Dymaxion map , но учтите, что его плоское представление не является полностью прямоугольным.

Другие варианты см. В списке Университет Колорадо .

Answer 4

, если вы делаете эскиз задачи, используя оси x-y от 0 до 1 (т. Е. Первый квадрант), то с тем же источником начертите спроектированный первый октант с его осями от 0 до pi / 2. Отметьте точку (1,1) от начала координат, тогда величина этой точки от начала координат будет корневой (2). Теперь вы можете видеть, что ваша точка (1,1) не может быть отображена на сферу так, как она выглядит за ее пределами.