Определение ввода функции с учетом вывода (исчисление)

Question

Мой учитель по исчислению дал нам программу для вычисления определенных интегралов заданного интервала, используя правило трапеции.Я знаю, что запрограммированные функции принимают входные данные и создают выходные данные как арифметические функции, но я не знаю, как сделать обратное: найти входные данные по выходным данным.

Состояния проблемы:

"Используйте правило трапеции с различными числами, n приращений, чтобы оценить расстояние, пройденное от t = 0 до t = 9. Найдите число D, для которого трапециевидная сумма находится в пределах 0,01 единицы этого предела (468), когда n>D. "

Я оценил предел с помощью калькулятора" включи и работай ", и я знаю, что с обычной алгебраической функцией я мог бы легко сделать:

limit (468) =алгебраическое выражение с переменной x (затем решить для x)

Однако, как бы я сделал это для запрограммированной функции? Как бы я определял вход запрограммированной функции при заданном выходе?

Я вычисляю определенный интеграл для полинома, (x ^ 2 + 11x + 28) / (x + 4), между интервалом 0 и 9. Функция правила трапеции в моем калькуляторе вычисляет определенный интеграл между интервалом 0 и 9, используя заданное количество трапеций, n.

В целом, я хочу знать, как это сделать:

Решите для n: 468 = trapezoidal_rule (a = 0, b = 9, n);

Код для trapezoidal_rule (a, b, n) на моем TI-83: ​​

Prompt A
Prompt B
Prompt N
(B-A)/N->D
0->S
A->X
Y1/2->S
For(K,1,N-1,1)
X+D->X
Y1+S->S
End
B->X
Y1/2+S->S
SD->I
Disp "INTEGRAL"
Disp I

Поскольку я не знаком с этим синтаксисом, а также не знаком с компьютерными алгоритмами, я надеялся, что кто-нибудь может помочь мне превратить этот код в алгебраическое уравнение или указать мне, как это сделать.

Редактировать: Это не часть моей домашней работы - просто интеллектуальное любопытство

Answer 1

полином, (x ^ 2 + 11x + 28) / (x + 4)

Это равно x + 7. Трапецеидальное правило должно дать точно правильных результатов для этой функции! Я предполагаю, что это не та функция, с которой вы работаете ...

Не существует общего способа определить, учитывая выходные данные функции, каков был ее ввод. (С одной стороны, многие функции могут отображать несколько разных входов на один и тот же выход.)

Итак, есть формула для ошибки, когда вы применяете трапециевидное правило с заданным числом шагов к данной функции, и вы можете использовать это здесь, чтобы определить значение n, которое вам нужно ... но (1 ) это не очень красиво, и (2) не очень разумно ожидать от вас, когда вы только начинаете смотреть на правило трапеции. Я предполагаю, что твой учитель на самом деле просто хотел, чтобы ты "подключи и пыхтя".

Я не знаю (см. Выше), какую функцию вы на самом деле интегрируете, но давайте представим, что это просто x ^ 2 + 11x + 28. Я назову это f (x) ниже. Интеграл от 0 до 9 на самом деле равен 940,5. Предположим, вы делите интервал [0,9] на n частей. Тогда правило трапеции дает вам: [f (0) / 2 + f (1 * 9 / n) + f (2 * 9 / n) + ... + f ((n-1) * 9 / n) + f (9) / 2] * 9 / n.

Давайте разделим это на вклады от x ^ 2, от 11x и от 28. Оказывается, что трапецеидальное приближение дает точно правильный результат для последних двух. (Упражнение: выясните почему.) Таким образом, ошибка, которую вы получаете из правила трапеции, точно такая же, как ошибка, которую вы получили бы от f (x) = x ^ 2.

Фактический интеграл от x ^ 2 от 0 до 9 равен (9 ^ 3-0 ^ 3) / 3 = 243. Трапецеидальное приближение равно [0/2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ... + (n-1) ^ 2 + n ^ 2/2] * (9 / n) ^ 2 * (9 / n). (Упражнение: выясните почему.) Существует стандартная формула для сумм последовательных квадратов: 1 ^ 2 + ... + n ^ 2 = n (n + 1/2) (n + 1) / 3. Таким образом, наше трапецеидальное приближение к интегралу от x ^ 2 составляет (9 / n) ^ 3 раза [(n-1) (n-1/2) n / 3 + n ^ 2/2] = (9 / n) ^ 3 раза [n ^ 3/3 + 1/6] = 243 + (9 / n) ^ 3 / 6.

Другими словами, ошибка в этом случае точно (9 / n) ^ 3/6 = (243/2) / n ^ 3.

Так, например, ошибка будет меньше 0,01 при (243/2) / n ^ 3 <0,01, что совпадает с n ^ 3> 100 * 243/2 = 12150, что верно при n > = 23.

[ИЗМЕНЕНО, чтобы добавить: я не проверял ни одну из моих алгебр или арифметики тщательно; могут быть небольшие ошибки. Я так понимаю, что вас интересуют идеи, а не конкретные цифры.]