Я наконец нашел решение (с помощью моего архитектора решений). Мы настроили конфигурацию приложения для проекта функционального тестирования и установили имя файла в качестве одной из настроек приложения. После этого мы указали относительный путь к фактическому файлу как
[DeploymentItem(@"..\..\Project1\App_Data\Test.txt")]
атрибут для тестового класса. Мы добавили простой хак для использования Absolute Path, если он находится в тесте (конфигурация приложения) и
Server.MapPath("Test.txt")
если это не тест. Логика решения заключается в том, что, поскольку мы помещаем файл как DeploymentItem, он идет прямо в соответствующую папку TestResults, поэтому, если мы используем абсолютный путь, он сможет ссылаться на него.
Надеюсь, это кому-нибудь поможет.