Это достигается с помощью методов UIView animateWithDuration, которые можно найти в документации здесь .
Очень простой пример, который следует вызывать при нажатии вашей кнопки:
[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{
// set new position of label which it will animate to
myLabel.frame = CGRectMake(x,y,width,height);
}];